viernes, 16 de septiembre de 2011

DIDACTICA DE LA FACTORIZACIÓN

FACTORIZACION

Se llama factorizar, a la operación que tiene por objeto hallar los factores primos de una expresión dada.
Factorar aritméticamente,  consiste en hallar los factores primos de un número.
Ejemplo: Hallar los factores  primos de. 60,  200

DESCOMPOCICIÓN FACTORIAL.
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la  primera expresión.
Descomponer en factores una expresión algebraica es convertirla, en el producto indicado de sus factores.
Factorar un monomio los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección, hallando los factores primos del coeficiente numérico, y descomponiendo la parte literal, así:
15ab = 3. 5. a .b

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descomposicion factorial

Factorar un polinomio, no todo polinomio se puede descomponer en sus factores primos, al igual que en aritmética existen números cuyos factores primos son la unidad y el mismo número, lo mismo ocurre con algunos polinomios o expresiones algebraicas, las cuales son llamadas expresiones primas.

Para factorar un polinomio los grandes matemáticos como los Egipcios, los Árabes, Platón, Aristóteles crearon lo que se llamo los diez casos de factorización.

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Factorizar un polinomio
Caso I : Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común
a)      Factor común  monomio.
Descomponer en factores  10b - 30ab²
Hallamos los factores comunes a los coeficientes 10 y 30 que son 2 ,5 ,10 ; tomamos el 10 por que siempre se saca el mayor factor común, de las letras el único factor común es la  b y la tomamos con su menor exponente, de manera que el factor común es  (10b).
La expresión nos queda 10b.(1 – 3ab).
b)      Factor común Polinomio: x(a + b) + y(a + b) – z(a + b), los tres términos tienen como factor común (a + b); entonces tendremos.
(a + b).(x + y -z). 
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* Caso1 (Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común)


Caso II : Factor común por agrupación de términos, se utiliza cuando todos los términos de una expresión no tienen un factor común, para factorarlo  se agrupan de tal manera que al agruparlos tengan factor común y llegamos al caso I  a y b.
Factorar: a x + bx +ay + b y, se agrupa  (a x + bx) y (ay + b y)
En el primer  paréntesis hallamos como factor común la x  (a + b) y en el segundo paréntesis la y (a +b) la expresión  queda x(a +b) y(a + b). Factor común de toda la expresión (a + b)  respuesta (a x +bx) + (ay + b y) =x(a + b) +y(a + b) =(a + b). (x + y).

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* Caso2 (Factor común por agrupación de términos)
Caso III : Trinomio cuadrado Perfecto ,una expresión es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. a²  Es cuadrado por que es el producto de a*a.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando se  ordena con respecto a una variable y se le puede extraer la raíz cuadrada al primer y último término y el segundo término es el doble producto de estas raíces. Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio  suma o diferencia.  (a+b)² o (a-b)².

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Caso IV : Diferencia de dos cuadrados perfectos con el caso anterior ya sabemos que es  un cuadrado perfecto. Tenemos,

Se le extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

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* Caso4 (Diferencia de dos cuadrados perfectos)
Caso especial











Caso V : Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, trinomio parecido al trinomio perfecto , que los términos  1 y 3 son cuadrados y el término 2 no es doble de las raíces del 1 y 3 termino para lograr esto hay que sumar lo que le falta , pero para que la expresión no varié hay que restarle la misma cantidad.

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* Caso5 (Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción)

Caso VI : Trinomio de la forma  x²+ bx + c son trinomios  como;











Se factor iza formando dos binomios, los primeros términos de  estos binomios son la raíz cuadrada del primer  término del trinomio, los segundos términos de los binomios deben satisfacer la condición que sumados o restados nos den  bx  y que multiplicados nos den para formar el trinomio dado.

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Caso6  ( Trinomio de la forma  x²+ bx + c)
Caso VII : Trinomio de la forma ax² +bx +c se diferencia del caso anterior por que el primer termino tiene coeficiente numérico.
Se factor iza multiplicando todo el polinomio por el coeficiente del primer término del trinomio  dejando indicado el primer y el  segundo término del trinomio, y para no alterar el trinomio lo dividimos por el mismo  coeficiente, formando dos binomios como en el caso anterior.

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* Caso7 ( Trinomio de la forma ax² +bx +c)
Caso VIII : Cubo perfecto de un binomio, la raíz cubica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cubica de su coeficiente y dividiendo por 3 el exponente de cada letra.
El cubo de un binomio debe cumplir las siguientes condiciones:
1)      Se ordena la expresión.
2)      Tener cuatro términos
3)      Que el primero y último término sean cubos perfecto.
4)      Que el segundo término sea (+) o (-) el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cubica del último término.
5)      Que el  tercer término sea más el triplo de la raíz cubica del término del primer término por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo término.
6)      Si todos los términos son positivos la expresión dada es un cubo suma, si los signos están alternados  + - + -, la expresión dada es el cubo de la diferencia.

Factorización .Se extrae la raíz cubica del primer término +,- la raíz cubica del último término y se eleva al cubo.
Así:

                        

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* Caso8 (Cubo perfecto de un binomio)


Caso IX : Suma o diferencia de cubos Perfecto
Son expresiones como estas:
Factorización. Se extraen las raíces cubicas de los términos del binomio teniendo en cuenta los signos, y se multiplica por el cuadrado de la primera cantidad más o menos el producto entre las dos  raíces más el cuadrado de la segunda raíz extraída

Caso X : Suma o diferencia de dos potencias iguales.
Son expresiones como:



Se factoriza dividiendo dicha expresión por las  dos raíces, así:



Nota: cundo el divisor es diferencia todos los signos del cociente son positivos y cundo es suma los signos  del cociente se alternan iniciando con positivo.

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* Caso10 (Suma o diferencia de dos potencias iguales)



EVIDENCIAS
INSITUCION EDUCATIVA FE Y ALEGRIA
LA CIMA

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